Revision as of 10:41, 29 September 2011

Création d'une matrice

A = matrix( c(11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33), ncol=3, byrow=TRUE )

A partir d'un fichier File:Gold.metadata.txt :

G=read.table("gold.metadata.txt", sep="\t", header=TRUE)
class(G)

G est un data frame ; les deux premières colonnes contiennent l'identifiant et le nom de l'organisme. Pour extraire la matrice de données (colonnes numériques), on fait :

as.matrix( G[ , 3:12] )

Cas de la matrice unité d'ordre n (notée $I n$ ), exemple avec n = 3 :

I3 = diag(3)

Cas des vecteurs colonne ou ligne :

V = c(1, 0, 5)
class(V)
# obtention de la matrice vecteur colonne :
as.matrix(V)
# pour obtenir la matrice vecteur ligne, on fait la transposée du résultat pécédent :
t( as.matrix(V) )

Opérations sur les matrices

addition +, soustraction -, multiplication par un nombre *,
produit : entre 2 matrices A et I3 : A %*% I3, entre une matrice A et un vecteur V A %*% V
transposition : t(M)

Application aux matrices de substitution pour les alignements de séquences

Calcul d'une matrice de substitution à partir des alignements

Nous allons construire une matrice de type Dayhoff (PAM) pour l'alignement de séquences protéiques, ceci à partir d'alignements de séquences. La méthode en quelques mots consiste à

compter le nombre de substitutions observées pour chaque acide aminé (a.a.),
à transformer ce nombre d'occurrence en fréquence,
puis à calculer la log odds matrix : la matrice contenant les coûts attribuer à chaque substitution (match et mismatch).

La première étape (déjà réalisée pour vous) consiste à réaliser les alignements et à dénombrer le nombre de passage d'un acide aminé à un autre.

Fichier contenant, le nombre de substitutions observées entre chaque paire d'acides aminés dans un lot de séquences préalablement alignées File:Count matrix.txt.

CM=read.table("count_matrix.txt", sep="\t", header=TRUE, row.names=1)

Après avoir chargé cette matrice dans R, transformez-la en une matrice MM (mutation matrix) qui contient des fréquences (aidez-vous des fonctions apply et sum). Ces fréquences sont interprétées comme des probabilités de passer d'un acide aminé en un autre.

Vous devriez obtenir ceci (10 premières lignes et 10 premières colonne) :

round(MM[1:10,1:10],2)
     A    R    N    D    C    Q    E    G    H    I
A 0.54 0.03 0.03 0.03 0.08 0.04 0.05 0.05 0.02 0.02
R 0.02 0.57 0.03 0.01 0.02 0.06 0.03 0.01 0.04 0.01
N 0.01 0.02 0.48 0.06 0.01 0.03 0.03 0.03 0.05 0.01
D 0.02 0.01 0.09 0.57 0.01 0.04 0.11 0.02 0.03 0.00
C 0.01 0.00 0.00 0.00 0.57 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Q 0.02 0.04 0.03 0.02 0.01 0.42 0.05 0.01 0.04 0.01
E 0.04 0.04 0.05 0.13 0.01 0.11 0.52 0.02 0.03 0.01
G 0.05 0.02 0.05 0.03 0.02 0.02 0.02 0.77 0.02 0.00
H 0.00 0.01 0.02 0.01 0.01 0.02 0.01 0.00 0.54 0.00
I 0.02 0.01 0.01 0.00 0.03 0.01 0.01 0.00 0.01 0.50

Pour un alignement de l'acide aminé $A A i$ avec l'acide aminé $A A j$ , on utilise la formule suivante :

$\frac{P(\mathrm{alignement. AA_i. avec. AA_j. est. du. a. l'evolution})}{P(\mathrm{alignement. AA_i. avec. AA_j. est. du. au. hasard})} = \frac{F_i.M_{j,i}}{F_i.F_j} = \frac{F_j.M_{i,j}}{F_i.F_j}$

avec $M$ la matrice MM précédemment calculée (mutation matrix) et $F$ la fréquence de chacun des acides aminés (ici, les fréquences d'apparition dans nos alignements de départ).

On en déduit la vraisemblance d'un alignement entre $A A i$ et $A A j$ : $L_{i,j} = \frac{F_j.M_{i,j}}{F_i.F_j} = \frac{M_{i,j}}{F_i}$

En pratique, on utilise les logarithmes car $log( S_1 \times S_2 \times \dots \times S_n ) = log S_1 + log S_2 + \dots + log S_n$ .

La matrice de substitution se calcule donc à l'aide de la formule suivante : $S_{i,j} = 10 \times log_{10}\frac{M_{i,j}}{F_i}$

Nous avons donc besoin de calculer la fréquences de chaque acide aminé dans une séquence (ici, fréquences d'apparition dans nos alignements de départ). Utilisez donc la matrice CM de départ qui contient le nombre de substitutions observées pour calculer le vecteur Freq contenant la fréquence de chacun de a.a.

Vous devriez obtenir le vecteur suivant :

round(Freq,2)
   A    R    N    D    C    Q    E    G    H    I    L    K    M    F    P    S    T    W    Y    V 
0.08 0.05 0.04 0.06 0.01 0.03 0.07 0.08 0.02 0.07 0.09 0.07 0.02 0.04 0.04 0.06 0.06 0.01 0.03 0.08

Il n'y a plus qu'à appliquer la formule $S_{i,j} = 10 \times log_{10}\frac{M_{i,j}}{F_i}$ .

Vous devriez obtenir la matrice de substitution suivante :

round(S[1:10,1:10],1)
     A    R    N     D     C    Q     E     G    H     I
A  8.1 -5.3 -4.4  -4.5  -0.2 -3.0  -2.3  -2.1 -6.2  -6.0
R -5.3 10.5 -2.7  -6.0  -4.8  0.5  -2.9  -6.4 -1.6  -8.4
N -4.4 -2.7 10.9   1.9  -4.5 -1.4  -1.8  -1.8  0.7  -8.3
D -4.5 -6.0  1.9  10.0  -9.3 -1.7   2.9  -4.5 -2.2 -13.1
C -0.2 -4.8 -4.5  -9.3  16.6 -8.4 -11.3  -6.7 -6.1  -4.3
Q -3.0  0.5 -1.4  -1.7  -8.4 10.8   1.8  -6.5  0.1  -8.1
E -2.3 -2.9 -1.8   2.9 -11.3  1.8   8.8  -5.7 -3.3 -10.5
G -2.1 -6.4 -1.8  -4.5  -6.7 -6.5  -5.7   9.9 -7.1 -14.3
H -6.2 -1.6  0.7  -2.2  -6.1  0.1  -3.3  -7.1 14.1  -9.8
I -6.0 -8.4 -8.3 -13.1  -4.3 -8.1 -10.5 -14.3 -9.8   8.6

La matrice PAM1 est bien adaptée pour aligner des séquences dont la distance évolutive correspond au temps nécessaire pour qu'une mutation sur 100 a.a. soit fixée dans la population (PAM = Point Percent Accepted Mutation). En d'autre termes, chaque a.a. a une probabilité de 0.01 de muter. Pour apprécier la distance évolutive entre les séquences que nous avions au départ, nous allons calculer le pourcentage moyen de mutation... à vos claviers, vous devriez obtenir quelque chose comme 44,5%.

M1 MABS BBS Math TD Calcul Matriciel

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Création d'une matrice

Opérations sur les matrices

Application aux matrices de substitution pour les alignements de séquences

Calcul d'une matrice de substitution à partir des alignements

@@ Line 126: / Line 126: @@
 I -6.0 -8.4 -8.3 -13.1  -4.3 -8.1 -10.5 -14.3 -9.8   8.6
 </source>
+La matrice PAM1 est bien adaptée pour aligner des séquences dont la distance évolutive correspond au temps nécessaire pour qu'une mutation sur 100 a.a. soit fixée dans la population (PAM = Point Percent Accepted Mutation). En d'autre termes, chaque a.a. a une probabilité de 0.01 de muter. Pour apprécier la distance évolutive entre les séquences que nous avions au départ, nous allons calculer le pourcentage moyen de mutation... à vos claviers, vous devriez obtenir quelque chose comme 44,5%.