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M1 MABS BBS Math TD Modelisation

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Pendant le processus de vinification, la fermentation alcoolique par les levures consiste à dégrader du glucose en anaérobie ce qui tend à favoriser la production d'alcool par rapport à une fermentation aérobie qui favoriserait la croissance de la biomasse. Dans certains cas, une faible aération facilite la synthèse de la biomasse et permet une augmentation de la productivité en alcool. La réaction théorique de Gay-Lussac est la suivante :
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C6H12O6 -> C5H5OH + 2CO2 (1)<!--math>C_6H_{12}O_6 \leftarrow 2C_5h_5OH + 2CO_2</math-->
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Son rendement théorique est de 0.511g d'éthanol produit par gramme de glucose consommé. Dans la pratique, ce rendement atteint 80% de cette valeur.
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L'accroissement de la population de levures est proportionnel à la population elle-même, c'est-à-dire que la vitesse de croissance cellulaire r<sub>x</sub> est proportionnelle à la concentration en microorganismes X à chaque instant :
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r<sub>x</sub> = 1/V d(XV)/dt = µ X (en g/lh) (2)
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On désigne par µ le taux de croissance, v<sub>s</sub> l etaux de dégradation de glucose, et v<sub>p</sub> le taux de production d'alcool. Ces paramètres représentent les vitesses spécifiques de la réaction relatives à la biomasse. µ, v<sub>s</sub> et v<sub>p</sub> s'expriment selon les équations suivantes :
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µ = r<sub>x</sub>/X
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v<sub>s</sub> = r<sub>s</sub>/X (3)
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v<sub>p</sub> = r<sub>p</sub>/X
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La croissance microbienne dépend d'un grand nombre de variables d'environnement comme la température, le pH, l'agitation, l'oxygénation, la dégradation du substrat, et l'accumulation de l'alcool. La difficulté de prendre en compte tous ces facteurs dans un modèle de croissance fait que l'approche usuelle consiste à fixer les variables d'environnement à des valeurs optimales déterminées expérimentalement et intervenant dans la valeur numérique des constantes. De ce fait, l'expression du taux de croissance ne représente plus que l'influence des concentrations de substrat, de produit et de biomasse.
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L'influence de la teneur en substrat sur la croissance se traduit par une limitation lors d'un manque de substrat, et par une inhibition lors d'un excéès de substrat. Le modèle d'Andrews propose une extension du celui de Monod permettant de prendre en compte l'effet limitant de l'exès de substrat :
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µ(S) = µ<sub>max</sub> S / (K<sub>s</sub> + S + S<sup>2</sup>/K<sub>i</sub>) (4)
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avec K<sub>s</sub> la constante de Monod et K<sub>i</sub> la constante d'inhibition.

Revision as of 20:47, 13 October 2011

Contents

Système discret : plantes annuelles

Les plantes annuelles tirent leur nom du fait qu'elles vivent moins d'un an. Elles effectuent leur cycle de vie en une seule année et passent l'hiver uniquement sous forme de graines. Nous allons nous intéresser à l'élaboration d'un modèle pour l'étude du développement et de la prolifération de ces plantes.

Description du cycle

Les graines germent en mai pour donner des plantes. Ces plantes fleurissent et produisent des graines qui sont dispersées à partir d'août. Une partie des graines sont infectées par divers pathogènes et meurent ou bien sont consommées par différents animaux pendant l'hiver. L'année suivante, le cycle recommence : une partie des graines germent, ... Les graines n'ayant pas germé attendront l'année suivante, si elles ne germent pas l'année suivante, elles ne germeront plus.

Paramètres du modèle

  • γ : nombre de graines produites par une plante
  • α : proportion de graines produites l'année précédente qui germent en mai
  • β : proportion de graines d'il y a 2 ans qui germent en mai
  • σ : proportion de graines qui survivent à l'hiver

Etat du système

En début d'année, l'état du système est donné par le nombre de graines de l'année précédente et d'il y a 2 ans.


Travail à réaliser

  1. Faire un schéma du système/cycle
  2. Identifier sur ce schéma les variables d'états qui vont être utilisées
  3. Écrire les relations liant les variables d'une année n à l'année suivante n + 1.
  4. Implémenter le modèle obtenu dans R avec la librairie deSolve. Pour cela, on utilisera les valeurs suivantes pour les paramètres :
    • γ = 2
    • α = 0.5
    • β = 0.25
    • σ = 0.8
  5. Effectuer une simulation, sur 20 ans à partir de 100 plantes et d'un sol vierge
  6. Au bout de combien d'années n'a-t-on plus de plante en partant de 50 plants ?
  7. Déterminer le taux γ minimal nécessaire au maintient des plantes pour les paramètres précédents (sauf γ)

Exemple d'utilisation de deSolve avec l'équation de Lorenz décrivant un comportement chaotique (1963) tirée de la vignette :

library(deSolve)
 
# Codage des paramètres du système (A, B et C) sous forme de liste 
parameters <- c(a = -8/3, b = -10, c = 28)
# Codage de l'état du système (X, Y et Z) également sous forme de liste
state <- c(X = 1, Y = 1, Z = 1)
 
# La fonction appliquant les équations d'état du système (calcul de dX, dY et dZ)
Lorenz<-function(t, state, parameters) {
	with(as.list(c(state, parameters)),{
		# rate of change
		dX <- a*X + Y*Z
		dY <- b * (Y-Z)
		dZ <- -X*Y + c*Y - Z
		# return the rate of change
		list(c(dX, dY, dZ))
	})
	# end with(as.list ...
}
 
# durée de la simulation (doit commencer par 0)
times <- seq(0, 100, by = 0.01)
# résolution du système et simulation
out <- ode(y = state, times = times, func = Lorenz, parms = parameters)
 
head(out)
par(oma = c(0, 0, 3, 0))
plot(out, xlab = "time", ylab = "-")
plot(out[, "X"], out[, "Z"], pch = ".")
mtext(outer = TRUE, side = 3, "Lorenz model", cex = 1.5)

Système continu : vinification

Inspiré de la thèse de

Pendant le processus de vinification, la fermentation alcoolique par les levures consiste à dégrader du glucose en anaérobie ce qui tend à favoriser la production d'alcool par rapport à une fermentation aérobie qui favoriserait la croissance de la biomasse. Dans certains cas, une faible aération facilite la synthèse de la biomasse et permet une augmentation de la productivité en alcool. La réaction théorique de Gay-Lussac est la suivante :

C6H12O6 -> C5H5OH + 2CO2 (1)

Son rendement théorique est de 0.511g d'éthanol produit par gramme de glucose consommé. Dans la pratique, ce rendement atteint 80% de cette valeur.

L'accroissement de la population de levures est proportionnel à la population elle-même, c'est-à-dire que la vitesse de croissance cellulaire rx est proportionnelle à la concentration en microorganismes X à chaque instant :

rx = 1/V d(XV)/dt = µ X (en g/lh) (2)

On désigne par µ le taux de croissance, vs l etaux de dégradation de glucose, et vp le taux de production d'alcool. Ces paramètres représentent les vitesses spécifiques de la réaction relatives à la biomasse. µ, vs et vp s'expriment selon les équations suivantes :

µ = rx/X
vs = rs/X (3)
vp = rp/X 

La croissance microbienne dépend d'un grand nombre de variables d'environnement comme la température, le pH, l'agitation, l'oxygénation, la dégradation du substrat, et l'accumulation de l'alcool. La difficulté de prendre en compte tous ces facteurs dans un modèle de croissance fait que l'approche usuelle consiste à fixer les variables d'environnement à des valeurs optimales déterminées expérimentalement et intervenant dans la valeur numérique des constantes. De ce fait, l'expression du taux de croissance ne représente plus que l'influence des concentrations de substrat, de produit et de biomasse.

L'influence de la teneur en substrat sur la croissance se traduit par une limitation lors d'un manque de substrat, et par une inhibition lors d'un excéès de substrat. Le modèle d'Andrews propose une extension du celui de Monod permettant de prendre en compte l'effet limitant de l'exès de substrat :

µ(S) = µmax S / (Ks + S + S2/Ki) (4)

avec Ks la constante de Monod et Ki la constante d'inhibition.