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m (Système continu : Modèle de rythme circadien de cyanobactérie)
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Dans ce travail, ils proposent un modèle de régulation de la phosphorylation de la protéine KaiC capable de générer des oscillations circadiennes chez les cyanobactéries. Nous allons ici implémenter leur système et vérifier certains de leurs résultats.
Dans ce travail, ils proposent un modèle de régulation de la phosphorylation de la protéine KaiC capable de générer des oscillations circadiennes chez les cyanobactéries. Nous allons ici implémenter leur système et vérifier certains de leurs résultats.
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Ceci se traduit par l'équation 1 de la publication.
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'''Implémenter ce nouveau modèle avec les nouveaux paramètres indiqués.'''
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Vous devriez obtenir quelque chose de la forme suivante :
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Revision as of 16:56, 20 October 2011

Contents

Système discret : plantes annuelles

Les plantes annuelles tirent leur nom du fait qu'elles vivent moins d'un an. Elles effectuent leur cycle de vie en une seule année et passent l'hiver uniquement sous forme de graines. Nous allons nous intéresser à l'élaboration d'un modèle pour l'étude du développement et de la prolifération de ces plantes.

Description du cycle

Les graines germent en mai pour donner des plantes. Ces plantes fleurissent et produisent des graines qui sont dispersées à partir d'août. Une partie des graines sont infectées par divers pathogènes et meurent ou bien sont consommées par différents animaux pendant l'hiver. L'année suivante, le cycle recommence : une partie des graines germent, ... Les graines n'ayant pas germé attendront l'année suivante, si elles ne germent pas l'année suivante, elles ne germeront plus.

Paramètres du modèle

  • γ : nombre de graines produites par une plante
  • α : proportion de graines produites l'année précédente qui germent en mai
  • β : proportion de graines d'il y a 2 ans qui germent en mai
  • σ : proportion de graines qui survivent à l'hiver

Etat du système

En début d'année, l'état du système est donné par le nombre de graines de l'année précédente et d'il y a 2 ans.


Travail à réaliser

  1. Faire un schéma du système/cycle
  2. Identifier sur ce schéma les variables d'états qui vont être utilisées
  3. Écrire les relations liant les variables d'une année n à l'année suivante n + 1.
  4. Implémenter le modèle obtenu dans R avec la librairie deSolve. Pour cela, on utilisera les valeurs suivantes pour les paramètres :
    • γ = 2
    • α = 0.5
    • β = 0.25
    • σ = 0.8
  5. Effectuer une simulation, sur 20 ans à partir de 100 plantes et d'un sol vierge
  6. Au bout de combien d'années n'a-t-on plus de plante en partant de 50 plants ?
  7. Déterminer le taux γ minimal nécessaire au maintient des plantes pour les paramètres précédents (sauf γ)

Exemple d'utilisation de deSolve avec l'équation de Lorenz décrivant un comportement chaotique (1963) tirée de la vignette :

library(deSolve)
 
# Codage des paramètres du système (A, B et C) sous forme de liste 
parameters <- c(a = -8/3, b = -10, c = 28)
# Codage de l'état du système (X, Y et Z) également sous forme de liste
state <- c(X = 1, Y = 1, Z = 1)
 
# La fonction appliquant les équations d'état du système (calcul de dX, dY et dZ)
Lorenz<-function(t, state, parameters) {
	with(as.list(c(state, parameters)),{
		# rate of change
		dX <- a*X + Y*Z
		dY <- b * (Y-Z)
		dZ <- -X*Y + c*Y - Z
		# return the rate of change
		list(c(dX, dY, dZ))
	})
	# end with(as.list ...
}
 
# durée de la simulation (doit commencer par 0)
times <- seq(0, 100, by = 0.01)
# résolution du système et simulation
out <- ode(y = state, times = times, func = Lorenz, parms = parameters)
 
head(out)
par(oma = c(0, 0, 3, 0))
plot(out, xlab = "time", ylab = "-")
plot(out[, "X"], out[, "Z"], pch = ".")
mtext(outer = TRUE, side = 3, "Lorenz model", cex = 1.5)

Système continu : vinification

Inspiré de la thèse d'Isabelle Queinnec

Pendant le processus de vinification, la fermentation alcoolique par les levures consiste à dégrader du glucose en anaérobie ce qui tend à favoriser la production d'alcool par rapport à une fermentation aérobie qui favoriserait la croissance de la biomasse. Dans certains cas, une faible aération facilite la synthèse de la biomasse et permet une augmentation de la productivité en alcool. La réaction théorique de Gay-Lussac est la suivante :

C6H12O6 -> C5H5OH + 2CO2 (1)

Son rendement théorique est de 0.511g d'éthanol produit par gramme de glucose consommé. Dans la pratique, ce rendement atteint 80% de cette valeur.

L'accroissement de la population de levures est proportionnel à la population elle-même, c'est-à-dire que la vitesse de croissance cellulaire rx est proportionnelle à la concentration en microorganismes X à chaque instant :

rx = 1/V d(XV)/dt = µ X (en g/lh) (2)

On désigne par µ le taux de croissance, VS le taux de dégradation de glucose, et VP le taux de production d'alcool. Ces paramètres représentent les vitesses spécifiques de la réaction relatives à la biomasse. µ, VS et VP s'expriment selon les équations suivantes :

µ = rx/X
VS = rS/X (3)
VP = rP/X 

La croissance microbienne dépend d'un grand nombre de variables d'environnement comme la température, le pH, l'agitation, l'oxygénation, la dégradation du substrat, et l'accumulation de l'alcool. La difficulté de prendre en compte tous ces facteurs dans un modèle de croissance fait que l'approche usuelle consiste à fixer les variables d'environnement à des valeurs optimales déterminées expérimentalement et intervenant dans la valeur numérique des constantes. De ce fait, l'expression du taux de croissance ne représente plus que l'influence des concentrations de substrat, de produit et de biomasse.

L'influence de la teneur en substrat sur la croissance se traduit par une limitation lors d'un manque de substrat, et par une inhibition lors d'un excès de substrat. Le modèle d'Andrews propose une extension du celui de Monod permettant de prendre en compte l'effet limitant de l'excès de substrat :

µ(S) = µmax S / (Ks + S + S2/Ki) (4)

avec Ks la constante de Monod et Ki la constante d'inhibition.

Le substrat consommé est utilisé pour la croissance cellulaire et pour le maintien de la biomasse dans un état viable, ce qui produit de l'alcool. On exprime le taux de dégradation par :

VS = µ/YX + VP/YP + m (5)

avec

  • YX le rendement de conversion de substrat en biomasse
  • YP le rendement de conversion de substrat en produit
  • m le coefficient de maintenance

Le coefficient de maintenance est généralement négligé devant les deux premiers termes de l'expression de VS. De plus, certains modèles expriment le taux de dégradation proportionnellement au seul taux de production.

Compte tenu des observations précédentes, pour simuler le système fermentaire, on retient un modèle dérivé de celui de Ghose-Tyagi, dans lequel l'inhibition par l'éthanol n'influence que la croissance des microorganismes :

µ = µmaxS/(KS + S + S2/Ki)(1-P/Pm)
VP = VmaxS/(KS + S +S2/Ki) (6)
VS = VP/YP

avec µmax le taux de croissance optimal, Vmax le taux optimal de production d'alcool et Pm le coefficient d'inhibition par l'alcool.

La première étape de la modélisation mathématique de la fermentation alcoolique consiste à déterminer les vitesses de réactions des variables macroscopiques de système, à savoir de la biomasse, du substrat et de l'alcool produit.

La deuxième étape permet de déterminer les équations d'état du système. Les variables d'état sont les concentrations en microorganisme X, en substrat S, en alcool P, et le volume réactionnel V. Les équations sont établies à partir de l'écriture des bilans matières relatifs aux composés de la réaction, c'est-à-dire en écrivant que la variation des quantités correspondantes pendant un intervalle de temps dt est égale à la somme de ce qui est apporté et créé, diminuée de ce qui est dégradé ou soutiré. Ceci nous permet d'écrire :

d(VX) = rXV dt = µXV dt
d(VS) = -rSV dt = -vSXV dt (7)
d(VP) = rPV dt = vPXV dt


  1. Implémenter le modèle à l'aide la bibliothèque deSolve
  2. Au bout de combien de temps le jus dépasse 12° avec les paramètres et variables d'état suivants :
    • KS = 5 g/l
    • Ki = 201 g/l
    • µmax = 0.54 /h
    • Vmax = 2.1 /h
    • YP = 0.43
    • Pm = 15
    • X = 3 g/l
    • S = 38 g/l
    • P = 0 g/l
    • V = 480 l

Système continu : Modèle de rythme circadien de cyanobactérie

Travail basé sur la publication A Model for the Circadian Rhythm of Cyanobacteria that Maintains Oscillation without Gene Expression de Kurosawa et al..

Dans ce travail, ils proposent un modèle de régulation de la phosphorylation de la protéine KaiC capable de générer des oscillations circadiennes chez les cyanobactéries. Nous allons ici implémenter leur système et vérifier certains de leurs résultats.

L'état du système est le suivant :

  • la protéine KaiA se trouve sous 2 formes : KaiA (inactive) et Kai* (active)
  • la protéine KaiC également : KaiC et KaiC-P (phosphorylée)
  • la protéine KaiB aussi : KaiB (inactive) et KaiB* (active)

Le système évolue :

  • KaiA* stimule la phosphorylation de KaiC
  • KaiB* stimule la déphosphorylation de KaiC
  • KaiC-P stimule l'inactivation de KaiB. L'activité de KaiB dépend de sa localisation et éventuellement de plusieurs formes chimiques de KaiB (comme pour KaiC).

Ceci se traduit par l'équation 1 de la publication.

L'abondance totale de KaiB et KaiC dépend de leur taux de transcription et de la vitesse de dégradation des ARNm. Les auteurs en déduisent l'équation 2.

Dans un premier temps, implémenter le modèle simple où l'abondance de KaiA active est constante. Vous utiliserez les paramètres spécifiés dans l'article.

Vous devriez obtenir les courbes suivantes : Image:LL-CBXY.png et Image:LL-kaiC-kaiB.png

Dans la suite, les auteurs élaborent un modèle où les oscillations continuent même en l'absence de transcription, en supposant que l'abondance des protéines est constante. Ils supposent notamment que l'abondance de KaiA est constante et que la forme active oscille. Ils en déduisent l'équation 4.

Implémenter ce nouveau modèle avec les nouveaux paramètres indiqués.

Vous devriez obtenir quelque chose de la forme suivante : Image:LLDD-CBXYA.png