M1 MABS BBS Math TD Modelisation
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+ | # Déterminer le taux γ minimal nécessaire au maintient des plantes pour les paramètres précédents (sauf γ) | ||
'''Exemple d'utilisation de deSolve avec l'[http://bcev.nfrance.com/Lorenz/equations.htm équation de Lorenz] décrivant un comportement chaotique (1963) tirée de la vignette :''' | '''Exemple d'utilisation de deSolve avec l'[http://bcev.nfrance.com/Lorenz/equations.htm équation de Lorenz] décrivant un comportement chaotique (1963) tirée de la vignette :''' |
Revision as of 15:10, 13 October 2011
Contents |
Système discret : plantes annuelles
Les plantes annuelles tirent leur nom du fait qu'elles vivent moins d'un an. Elles effectuent leur cycle de vie en une seule année et passent l'hiver uniquement sous forme de graines. Nous allons nous intéresser à l'élaboration d'un modèle pour l'étude du développement et de la prolifération de ces plantes.
Description du cycle
Les graines germent en mai pour donner des plantes. Ces plantes fleurissent et produisent des graines qui sont dispersées à partir d'août. Une partie des graines sont infectées par divers pathogènes et meurent ou bien sont consommées par différents animaux pendant l'hiver. L'année suivante, le cycle recommence : une partie des graines germent, ... Les graines n'ayant pas germé attendront l'année suivante, si elles ne germent pas l'année suivante, elles ne germeront plus.
Paramètres du modèle
- γ : nombre de graines produites par une plante
- α : proportion de graines produites l'année précédente qui germent en mai
- β : proportion de graines d'il y a 2 ans qui germent en mai
- σ : proportion de graines qui survivent à l'hiver
Etat du système
En début d'année, l'état du système est donné par le nombre de graines de l'année précédente et d'il y a 2 ans.
Travail à réaliser
- Faire un schéma du système/cycle
- Identifier sur ce schéma les variables d'états qui vont être utilisées
- Écrire les relations liant les variables d'une année n à l'année suivante n + 1.
- Implémenter le modèle obtenu dans R avec la librairie deSolve. Pour cela, on utilisera les valeurs suivantes pour les paramètres :
- γ = 2
- α = 0.5
- β = 0.25
- σ = 0.8
- Effectuer une simulation, sur 20 ans à partir de 100 plantes et d'un sol vierge
- Au bout de combien d'années n'a-t-on plus de plante en partant de 50 plants ?
- Déterminer le taux γ minimal nécessaire au maintient des plantes pour les paramètres précédents (sauf γ)
Exemple d'utilisation de deSolve avec l'équation de Lorenz décrivant un comportement chaotique (1963) tirée de la vignette :
library(deSolve) # Codage des paramètres du système (A, B et C) sous forme de liste parameters <- c(a = -8/3, b = -10, c = 28) # Codage de l'état du système (X, Y et Z) également sous forme de liste state <- c(X = 1, Y = 1, Z = 1) # La fonction appliquant les équations d'état du système (calcul de dX, dY et dZ) Lorenz<-function(t, state, parameters) { with(as.list(c(state, parameters)),{ # rate of change dX <- a*X + Y*Z dY <- b * (Y-Z) dZ <- -X*Y + c*Y - Z # return the rate of change list(c(dX, dY, dZ)) }) # end with(as.list ... } # durée de la simulation (doit commencer par 0) times <- seq(0, 100, by = 0.01) # résolution du système et simulation out <- ode(y = state, times = times, func = Lorenz, parms = parameters) head(out) par(oma = c(0, 0, 3, 0)) plot(out, xlab = "time", ylab = "-") plot(out[, "X"], out[, "Z"], pch = ".") mtext(outer = TRUE, side = 3, "Lorenz model", cex = 1.5)