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M1 MABS CC Math 2012-12

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Travail à réaliser avec R.

Document à rendre : fichier texte nommé NOM_PRENOM_CC_MATH_2012-13.R (tout en majuscule sans accent et sans espace ou autre !) avec toutes les commandes R permettant de répondre aux questions, la copie de la sortie R (avec l'ajout de commentaires # ou #~ en début de ligne). Les réponses "libres" sont à insérer également dans le fichier avec des commentaires ## en début de ligne.

Envoyer le fichier en fin de séance à mailto:barriot@biotoul.fr et garder une copie au cas où le mail n'arrive pas dans ma boite.

Remarque : l'ajout de commentaires est bienvenu. Ils permettront d'évaluer le raisonnement lorsque le calcul est faux. Son absence, en revanche, dénote un manque de recul et de confiance et risque d'être davantage interprétée comme la tentative de fournir un résultat en espérant qu'il soit bon.

Calcul matriciel

On s'intéresse à la matrice A suivante :

1 -2 3 1
1 3 -3 1
2 0 3 4
4 4 -2 0

1. créer la matrice dans R

2. afficher sa transposée

3. afficher sa trace

4. calculer son déterminant


Pour les questions suivantes, vous jusitifierez vos réponses oui/non.

5. est-elle singulière ?

6. est-elle régulière ?

7. est-elle inversible ? si oui, donner son inverse

8. est-elle orthogonale ?

9. est-elle symétrique ?

10. est-elle idempotente ?

11. résoudre le système suivant

\left\{\begin{matrix}  
 x_1 - 2x_2 + 3x_3 +  x_4 =  2\\ 
 x_1 + 3x_2 - 3x_3 +  x_4 =  1\\
2x_1        + 3x_3 + 4x_4 =  0\\
4x_1 + 4x_2 -2x_3         = -2
\end{matrix}\right.


Modélisation

Un particulier souhaite faire un emprunt de 120 000€ pour un achat immobilier. Il négocie un taux d'intérêts annuel fixe à 3.8% pour un prêt en 2 étapes : les 144 permier mois, le montant des traites s'élève à 619€, puis passe à 891.13€ après (le particulier estime que son salaire va augmenter, et il a aussi un prêt à taux zéro à rembourser en parallèle les 12 premières années). Chaque mois, cette somme remboursée se décompose en

  1. paiement des intérêts
  2. paiement d'une assurance d'un montant fixe : 18€
  3. le reste est déduit de la somme due

12. Editer le tableau d'amortissement. Celui-ce récapitule pour chaque mois, le n° du mois, le montant restant du, le coût cumulé des intérêts, le montant des intérêts payé ce mois, le montant des assurances, le montant des traites, et le montant remboursé sur la somme due. Extrait du résultat attendu pour le premier mois :

> round(out,2)
    time mois        du     cout interets echeance Assurances amortis
1      0    0 120000.00     0.00     0.00     0.00         18    0.00
2      1    1 119779.00   380.00   380.00   619.00         18  221.00
3      2    2 119557.30   759.30   379.30   619.00         18  221.70


13. Au bout de combien de mois, le prêt sera-t-il remboursé ?

14. Combien le particulier aura-t-il payé d'intérêts ?

15. Quel est le coût total du prêt (ce que le particulier a payé en plus des 120 000€) ?

16. Au bout de combien de mois, le prêt aurait-il été remboursé s'il avait négocié un taux à 3.5% ? Combien aurait-il économisé sur le coût total du prêt ?

Proba

On s’intéresse à CRP et plus particulièrement à son site de fixation.

Vous avez à disposition l'alignement des séquences du site de fixation chez E. coli.

17. Utilisez la méthode de vraisemblance (avec le théorème de Bayes) pour donner la/les position(s) de ce(s) site(s) sur la séquence test s'il y en a. Vous détaillerez et expliquerez la démarche.